Koelen van metalen buizen

Introductie¶

In het boek wordt in hoofdstuk 2 geschreven over warmtetransport. Dat kan op drie manieren plaatsvinden. Het is niet eenvoudig om deze drie verschillende vormen uit elkaar te houden. In het vak ‘Fysische Transportverschijnselen’, dat in het tweede jaar wordt gegeven, zal je zien dat de natuurkunde achter deze verschillende vormen van warmtetransport ook best ingewikkeld is.

In deze proef proberen we een inschatting te maken van de ordegrootte van de verschillende vormen van warmtetransport bij de koeling van een metalen buis aan lucht.

Theorie¶

Volgens Newton’s wet van afkoeling is de snelheid waarmee een voorwerp afkoelt evenredig met het verschil in de temperatuur van het voorwerp ( $T$ ) en de omgeving ( $T_0$ ). We kunnen dit schrijven als:

\dot{Q} = -hA(T(t) - T_0),

(1)

waarin

$\dot{Q}$ de warmtestroom in $\mathrm{W}$ ,
$A$ het oppervlak waardoor koeling optreedt in $\mathrm{m}^2$ ,
$h$ de warmteoverdrachtscoëfficiënt in $\mathrm{W/(m^2 K)}$ .

Dit levert de differentiaalvergelijking

C\dot{T} = -hA(T(t) - T_0),

(2)

met $C$ de warmtecapaciteit in $\mathrm{J/kg}$ . Herschrijven met $\tau = \frac{C}{hA}$ levert:

-\tau\dot{T} = T(t) - T_0,

(3)

met als oplossing:

T(t) - T_0 = (T(0) - T_0)\text{e}^{-t/\tau}.

(4)

We kunnen hieruit dus concluderen dat $\tau$ de karakteristieke tijdsduur is waarin de temperatuur van de buis een factor $\text{e}$ verlaagd ten opzichte van de omgevingstemperatuur.

We zijn hier voor het gemak uitgegaan van een $h$ die onafhankelijk is van de temperatuur. We weten echter dat warmtetransport door straling niet lineair gaat, maar als

\dot{Q}_s = \epsilon \sigma A (T^4 - T_0^4).

(5)

Voor kleine temperatuurverschillen ( $\Delta T = T - T_0$ ) is dit te vereenvoudigen tot

\dot{Q}_s = \epsilon \sigma A ((T_0+\Delta T)^4 - T_0^4) \approx \epsilon \sigma 4A T_0^3 \Delta T.

(6)

Zolang $\Delta T$ dus relatief klein is ten opzichte van $T_0$ , kunnen we $h$ dus inderdaad als een constante beschouwen.

Methode en materialen¶

Ontwerp¶

Materialen¶

standaard met twee thermisch geïsoleerde grijparmen
metalen buis met bijpassende dop
thermometer (infrarood of thermokoppel)
knijper voor bevestigen thermokoppel op buis
warm water tussen 60 en 80 graden Celsius
(evt) schuifmaat voor bepalen dimensies buis

Procedure¶

Stop de buis in warm water en laat deze gedurende een paar minuten zitten om thermisch evenwicht te bereiken. Beantwoord ondertussen de volgende vragen met behulp van de tabel:

Materiaal	$\rho$ in $\text{kg/m}^3$	$C$ in $\text{J} / \text{(kg K)}$
messing	8,73E3	3,8E2
aluminium	2,7E3	8,8E2
staal	7,9E3	4,7E2

Solution to Exercise 5

Diameter buitenkant buis = 4.97 cm
Diameter binnenkant bsuis = 4.66 cm
Lengte = 10.20 cm = 0.102 m

$A_{buitenoppervlak} = \pi \cdot 0.0497 \cdot 0.102 = 0.01593 m^2$

$V_{buis} = \pi \cdot 0.102 \cdot ((d^2_{buiten} - d^2_{binnen})/4) = 0.0000239 m^3$
$m_{buis} = V_{buis} \cdot \rho_{aluminium} = 0.0000239 \cdot 2.7\cdot10^3 = 0.06453$ kg
$C = 8.8\cdot10^2 J/kg K$

Warmtecapaciteit $C_{buis} = C \cdot m_{buis} = 56.7864 J/K$

Omgevingstemperatuur $T_0 = 24.8 \degree C = 297.95 K$

Pak de buis op met thermisch isolerende handschoenen (of direct met de geïsoleerde grijparm) en plaats deze in de grijparm met isolatieschoentjes. Positioneer de thermometer voor optimale temperatuurlezing. Meet als functie van tijd hoe lichaam koelt. Wacht voldoende lang zodat je de karakteristieke tijd $\tau$ voor de afkoeling kan bepalen.

Doe dit voor twee of drie configuraties:

De buis met de as in verticale richting en afgesloten met dop.
De buis met de as in verticale richting zonder dop.
(alleen bij voldoende tijd) De buis met de as in horizontale richting en afgesloten met dop.

Data analyse¶

Bepaal de karakteristieke tijd $\tau$ waarin de temperatuur van buis afneemt. Deze kan verschillend zijn voor de drie bovenstaande configuraties.
Bereken hieruit de warmteoverdrachtscoëfficiënt.
Vergelijk je resultaten met je groepsgenoten die een vergelijkbare buis hebben gemeten (dit kan klassikaal).
Welk deel van de warmteoverdrachtscoëfficiënt verwacht je dat gegeven is door de geleiding, straling en convectie? Onderbouw je redenering.

Resultaten¶

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit


# Meting 1: De buis met de as in verticale richting en afgesloten dop.

def exp_func(t, A, tau, T_omg):
    # A is verschiltemperatuur met omgeving aan start
    # tau is de karakteristieke tijd voor de koeling
    # T_omg is de omgevingstemperatuur
    return (A * np.exp(-t/tau) + T_omg)  

buitenoppervlak = 0.01593 # bepaal zelf in m^2
warmtecapaciteit = 56.7864 # bepaal de warmtecapaciteit in J/K

times_1 = np.array([0,10,20,30,40,50,60,70,80,90,100,110,120,130,140,150,160,170,180,190,200,210,220,230,240,250,260,
                 270,280,290,300,310,320,330,340,350,360,370,380,390,400,410,420,430,440,450,460,470,480.490,500]) #s
temps_1 = np.array([47.6,46.2,45.2,44.1,43.0,42.4,41.7,41.0,40.5,39.8,39.3,38.8,38.6,37.8,37.3,36.8,36.4,36.1,35.8,
                 35.5,35.2,34.8,34.6,34.3,34.0,33.8,33.5,33.2,33.0,32.7,32.6,32.4,32.2,31.9,31.8,31.7,31.5,31.2,
                  31.2,31.0,30.9,30.7,30.6,30.5,30.4,30.3,30.2,30.1,30.0,29.9])+273 #K

# pas beginwaardes aan naar schatting
# Het aantal maxfev moet wellicht hoger voor goede convergentie van de waarde
popt_1, pocv_1 = curve_fit(exp_func, times_1, temps_1, p0=[22.8, 10, 297.95], maxfev=5000)

A_exp_1, tau_exp_1, T_omg_exp_1 = popt_1

y_fit_1 = exp_func(times_1, *popt_1)

plt.figure()
plt.xlabel('Time [s]')
plt.ylabel('Temperature [K]')

plt.plot(times_1, temps_1, 'bo', label='measurement')
plt.plot(times_1, y_fit_1, 'r-', 
         label='$T = %0.2f e^{-t/%0.4f} + %0.2f$' % (A_exp_1, tau_exp_1, T_omg_exp_1))

plt.legend()
plt.savefig("Figures/koelbuis_met.png", dpi=450)
plt.show()

h_exp_1 = (warmtecapaciteit) / (tau_exp_1 * buitenoppervlak)
 
print(f"De warmteoverdrachtscoëfficiënt is {h_exp_1} W/m^2 K") 
print(f"De karakteristieke tijdsduur tau is {tau_exp_1} s")

De warmteoverdrachtscoëfficiënt is 18.788797854569353 W/m^2 K
De karakteristieke tijdsduur tau is 189.727186928297 s


# Meting 2: De buis met de as in verticale richting zonder dop

def exp_func(t, A, tau, T_omg):
    # A is verschiltemperatuur met omgeving aan start
    # tau is de karakteristieke tijd voor de koeling
    # T_omg is de omgevingstemperatuur
    return (A * np.exp(-t/tau) + T_omg)  

buitenoppervlak = 0.01593 # bepaal zelf in m^2
warmtecapaciteit = 56.7864 # bepaal de warmtecapaciteit in J/K

times_2 = np.array([0,10,20,30,40,50,60,70,80,90,100,110,120,130,140,150,160,170,180,190,200,210,220,230,240,250,
                 260,270,280,290,300,310,320,330,340,350,360]) #s
temps_2 = np.array([48.9,45.4,42.9,39.8,38.2,36.9,36.0,35.2,34.3,33.6,33.2,32.6,32.2,31.7,31.3,31.0,30.5,30.3,
                 30.0,29.7,29.6,29.4,29.2,29.0,28.8,28.6,28.4,28.4,28.4,28.2,28.0,27.9,27.8,27.7,27.6,27.4,
                 27.4]) + 273.15 #K


# pas beginwaardes aan naar schatting
# Het aantal maxfev moet wellicht hoger voor goede convergentie van de waarde
popt_2, pocv_2 = curve_fit(exp_func, times_2, temps_2, p0=[24.1, 1, 297.95], maxfev=5000)

A_exp_2, tau_exp_2, T_omg_exp_2 = popt_2

y_fit_2 = exp_func(times_2, *popt_2)

plt.figure()
plt.xlabel('Time [s]')
plt.ylabel('Temperature [K]')

plt.plot(times_2, temps_2, 'bo', label='measurement')
plt.plot(times_2, y_fit_2, 'r-', 
         label='$T = %0.2f e^{-t/%0.4f} + %0.2f$' % (A_exp_2, tau_exp_2, T_omg_exp_2))

plt.legend()
plt.savefig("Figures/koelbuis_zonder.png", dpi=450)
plt.show()

h_exp_2 = (warmtecapaciteit) / (tau_exp_2 * buitenoppervlak)
 
print(f"De warmteoverdrachtscoëfficiënt is {h_exp_2} W/m^2 K") 
print(f"De karakteristieke tijdsduur tau is {tau_exp_2} s")

De warmteoverdrachtscoëfficiënt is 49.40812684211994 W/m^2 K
De karakteristieke tijdsduur tau is 72.14897610068783 s

Discussie en conclusie¶

Met dop:
De warmteoverdrachtcoëfficiënt is 18.8 W/m^2 K en de karakteristieke tijdsduur tau is 189.7 s.

Zonder dop:
De warmteoverdrachtscoëfficiënt is 49.4 W/m^2 K en de karakteristieke tijdsduur tau is 72.1 s

Warmtetransport bestaat in dit proces voornamelijk uit convectie, omdat een aanzienlijk deel warmte wordt afgestaan aan de lucht (de omgeving). Naast het statief is er geen ander materiaal dat contact maakt met de buis, dus zal een relatief klein deel van de warmte getransporteerd worden d.m.v. geleiding. Warmtestraling is ook zeer aanwezig, maar door een klein oppervlak van de buis (Wet van Stefan-Boltzmann) en een niet enorm groot temperatuurverschil is deze significant minder aanwezig dan convectie, stroming.

(Er was onvoldoende tijd om de derde meting uit te voeren.)